Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα είναι περιττοί αριθμοί με ,

δείξτε ότι το εμβαδόν , του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός

2023.12.30.FB13936 sol3.jpg Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις λύσεις τους και δίνω εν συντομία την δικιά μου, μιας και είναι αρκετά διδακτική. Το διακεκομμένο κόκκινο τμήμα εύκολα είναι $b-a$, από τα εφαπτόμενα τμήματα $a, b$ και τον δεύτερο κύκλο. Το κίτρινο τρίγωνο είναι ισοσκελές, από ...

2024.02.18.FB1419x mathematica.jpg Έστω τρίγωνο $ABC$ με $\hat{A}=60^\circ$. Ας είναι $I, O$ το έγκεντρο και το περίκεντρό του αντίστοιχα, και $M, N$ τα μέσα των $AB, AC$. a. Αν $D=OM\cap{BI}$ και $E=ON\cap{CI}$, δείξτε ότι τα $A, D, E$ είναι συνευθειακά. b. Αν η $F=AD\cap{BC}$ και $(BF, FC)=(m, n)...

Έστω τραπέζιο

Κύκλος που διέρχεται από τα εφάπτεται της στο

Κύκλος που διέρχεται από τα εφάπτεται της στο

Αν τα εμβαδά των τετραπλεύρων αντίστοιχα,

δείξτε ότι

Δίνω την κατασκευή του c. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί

Θανάση, Καλή και Δημιουργική Χρονιά!
Χαιρετίσματα από την Ισπανία

Για τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος,

δείξτε την ανισότητα :

2023.12.15.FB13902 mathematica.jpg Έστω τρίγωνο $ABC$, $AD$ το ύψος του και $O$ το περίκεντρό του. Αν $Q$ το σημείο τομής των εφαπτόμενων στον κύκλο $(A, AD)$ που διέρχονται από τα $B, C$, δείξτε οτι: i. ο περίκυκλος $(w)$ του $QBC$, διέρχεται από το $O$ Αν $(u)$ ο κύκλος που εφάπτεται στις $QB, QC...

2023.12.15.FB138xx mathematica2.jpg Ας είναι $u=AX=YB$ και $(AB, BC, CD, DA)=(a, b, c, d)$ Τότε $XY=a(3-2√2)=a(√2-1)²$ και $u=(a-XY)/2=a(√2-1)$ Από $"Haruki"$ λήμμα 2, έχουμε: $c \cdot u²=XY \cdot b \cdot d$ και αντικαθιστώντας τα $u, XY$ έχουμε $a \cdot c=b \cdot d$ που σημαίνει ότι το $ABCD$ είνα...

2023.12.15.FB138xx mathematica.jpg Έστω κύκλος $(O)$, μια χορδή του $AB=a$ και $K$ το μέσον της. Ο κύκλος με κέντρο $K$ και διάμετρο ίση με $a(3-2√2)$, τέμνει την χορδή στα σημεία $X, Y$ ($X$ πιο κοντά στο $A$). Αν $P$, τυχαίο σημείο του $(O)$, διάφορο από τα $A, B$ και $C\equiv PY\cap (O)$, $D\equ...

Έστω τρίγωνο , ο περίκυκλός του και ο έγκυκλός του.

Ας είναι επίσης το σημείο επαφής του έγκυκλου με την και τα μέσα των αντίστοιχα.

Αν , δείξτε ότι ο κύκλος εφάπτεται του περίκυκλου

Crux4879.jpg Εστω τρίγωνο $ABC$ και η διχοτόμος $AD$. Ας είναι $\Gamma, \Gamma1, \Gamma2$ οι περίκυκλοι των τριγώνων $ABC, ADB, ADC$ αντίστοιχα. Ας είναι επίσης $\Omega1$ ο κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά με τους $\Gamma, \Gamma1, \Gamma2$ και $\Omega2$ ο κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά με τους $\Gam...

Δίνω την κατασκευή του b. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί

Εστω τετράπλευρο με

και σημείο (στο εσωτερικό του)

Αν και , δείξτε οτι:

α.

c. οι διχοτόμοι των γωνιών , συντρέχουν

2022.007.9278 Quadrilateral Complete mathematica.PNG Εστω, εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABCD$, σε κύκλο κέντρου $O$, $P\equiv AB\cap CD$, $Q\equiv AD\cap BC$, $M\equiv AC\cap BD$ και $N$ το μέσον του $PQ$ α. Δείξτε οτι $OP=OQ$ τότε και μόνον τότε αν $O, M, N$ είναι συνευθειακά β. Βρείτε έναν τρόπο κατ...

... άλλη μια λύση από τον φίλο Kousik Sett

Επειδή μου κίνησε το ενδιαφέρον το πόσταρα στους Ρομαντινούς (FB) και ιδού η "μελέτη" από τον φίλο Francisco Javier García Capitán (δυστυχώς στα αγγλικά)

Εστω τρίγωνο και δύο κύκλοι στο εσωτερικό του τριγώνου,

εκ των οποίων ο ένας εφάπτεται στις και ο άλλος στις .

Αν το κοινό τους εφαπτόμενο τμήμα (διάφορο της ),

δείξτε οτι οι τέμνονται επί του έγκυκλου του

Ενα επιπλέον ερώτημα:

Ας είναι ο περίκυκλος του , ο περίκυκλος του και το δεύτερο σημείο τομής των

Ας είναι επίσης , και

Δείξτε οτι οι κύκλοι αποτέμνουν ίσα τμήματα στην

2023.03.16.FB12014a sol mathematica.png Δίνω την κατασκευή (ενός τριγώνου εκ των πολλών) χωρίς αιτιολόγηση (που είναι και ουσία του προβλήματος), που την αφήνω ως άσκηση. Έστω τυχαίο σημείο $P$ της $BC$ Οι κύκλοι $(B, BP), (C, CP)$ επανατέμνουν την $BC$ στα $B', C'$ αντίστοιχα Φέρω τις εφαπτόμενες ...