Η αναζήτηση βρήκε 1213 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 20, 2017 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 99

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση δυναμοσειράς

Η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς στο (-a,a) δίνει όλα τα άλλα.Παραθέτω τα σχετικά θεωρήματα.Το (1)είναι αυτό που χρειάζεται. Για απλότητα και άλλους λόγους υποθέτω ότι a=1 . 1)Εστω f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},x\in (-1,1) Η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αν και μόνο αν οι σ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 19, 2017 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εύρεση σημείου στον χώρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 118

Re: Εύρεση σημείου στον χώρο

Πολύ ωραία Μιχάλη. Κάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου. (την πρώτη λύση που είναι και επιπέδου Λυκείου) Να σημειώσω ότι το M είναι το κέντρο μάζης των σημείων με μάζες a_{1},a_{2},....a_{n} (επιτρέπουμε και αρνητικές μάζες). Ειναι φανερό ότι αν \sum_{i=1}^{n}a_{i}< 0 δεν υπάρχει ελάχιστο. Ενώ αν \sum_{i=...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 18, 2017 9:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: IMO 2017

Το πρόβλημα 1 είναι Για κάθε ακέραιο a_{0}> 1 , ορίζουμε την ακολουθία a_0,a_1,a_2,\ldots ως εξής: \displaystyle{ a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{\gr αν } \sqrt{a_n} \text{ \gr ακέραιος} \\ a_n+3 & \text{\gr διαφορετικά} \end{cases} \quad \text{\gr για κάθε } n \geqslant 0.} Να πρ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 18, 2017 9:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 824

Re: IMO 2017

Το πρόβλημα 2 είναι

Να βρεθούν όλες οι f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που ικανοποιούν την f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy),x,y\in \mathbb{R}
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 18, 2017 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εύρεση σημείου στον χώρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 118

Εύρεση σημείου στον χώρο

Δίνονται A_{1},A_{2},....A_{n},n\geq 2

σημεία στον χώρο και a_{1},a_{2},...a_{n}\in \mathbb{R}

με \sum_{i=1}^{n}a_{i}> 0

Να προσδιορισθεί σημείο του χώρου M ώστε το

\sum_{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}

να γίνεται ελάχιστο.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 18, 2017 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σωστό - Λάθος και παράδειγμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 160

Re: Σωστό - Λάθος και παράδειγμα

" Ενα τοπικό μέγιστο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. " Να εξετάσετε αν η πρόταση είναι σωστή ή λάθος και να δώσετε παράδειγμα συνάρτησης που να ικανοποιεί ή να καταρρίπτει τον παραπάνω ισχυρισμό. Υ.Γ. Προφανώς η πρόταση είναι πασίγνωστη και έχει πέσει και στις πανελ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιούλ 16, 2017 9:19 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Η παρακάτω λύση έχει δοθεί από τον George Chimonides. Εστω 0< r< s Από την ανισότητα της αναδιάταξης (η όπως αλλιώς λέγεται ) είναι \dfrac{a^{r}+b^{r}+c^{r}}{3}.\dfrac{a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}}{3}\leq \dfrac{a^{s}+b^{s}+c^{s}}{3} Αλλά από AMG είναι a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}\geq 3 ( abc=1 ) και τελειώσα...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

 Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη: Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το 1 = (abc)^{(s-r)/3} , αρκεί, για a,b,c>0 , να δείξουμε ότι \displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

 Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη: Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το 1 = (abc)^{(s-r)/3} , αρκεί, για a,b,c>0 , να δείξουμε ότι \displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιούλ 15, 2017 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με δυνάμεις
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Ανισότητα με δυνάμεις

Ισως είναι γνωστή.Αν είναι πως την έχουν βαπτίσει;

Εστω a,b,c> 0,abc=1

Θεωρούμε 0< r< s< 1

Να δειχθεί ότι

a^{r}+b^{r}+c^{r}\leq a^{s}+b^{s}+c^{s}

Συμπλήρωμα.
Αρκεί 0< r< s
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 12, 2017 3:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Ισχύει ή όχι ;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 586

Re: Ισχύει ή όχι ;

Ισχύει \lambda \cdot \vec{\alpha }=\vec{\alpha }\cdot \lambda \,\,,\,\,\lambda \in {{\mathbb{R}}^{*}} ; Θα ήθελα τη γνώμη σας . Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει αναλυτικά αν ισχύει ή όχι; Γειά σου Ορέστη. Γίνεται μια ερώτηση αν ισχύει κάτι όπου δεν έχουν ορισθεί τα σύμβολα. Μια πρώτη απάντηση εί...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 12, 2017 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 167

Re: Τέλειο τετράγωνο

Με επιφύλαξη για το φάκελο... Να αποδείξετε ότι για κάθε k\in \mathbb{Z}^{*} ο αριθμός \displaystyle{2017k^{2}-120} δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Φιλικά, Μάριος Εστω ότι είναι 2017k^{2}=120+n^{2} (1) Γράφουμε k=5t+r,n=5f+w όπου r,w\in \left \{ 0,1,-1,2,-2 \right \} Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι 2r^{2...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 12, 2017 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή κύκλου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 138

Re: Κατασκευή κύκλου

Κλέβοντας.
Παίρνουμε τον συμμετρικό ενός κύκλου ως προς την ευθεία.
Ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στους τρείς κύκλους είναι ο ζητούμενος.
Την κατασκευή του την έκανε ο Απολλώνιος.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 12, 2017 11:15 am
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Απόδειξη διακύμανσης ανεξάρτητων τ.μ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 96

Re: Απόδειξη διακύμανσης ανεξάρτητων τ.μ

Καλησπέρα σε όλους! Έστω X_i ,i=1,...,d ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Να δειχθεί ότι \displaystyle{Var(\sum_{i=1}^{d}X_i)} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{d}Var(X_i)} Η απόδειξη που έκανα είναι η εξής: \displaystyle{Var(\sum_{i=1}^{d}X_i)} = Var(X_1+...+X_d) = \display...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 11, 2017 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 74η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Απαντήσεις: 150
Προβολές: 14965

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 73η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

Καλημέρα Μιχάλη. Υπάρχει ένα βιβλίο στα Ελληνικά στο οποίο σε μεγάλο μέρος ασχολείται με τέτοια θέματα. Το είχα διαβάσει όταν ήμουν μαθητής. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΥ ΣΤΕΛΙΟΥ Η. ΠΑΠΑΦΛΩΡΑΤΟΥ ΑΘΗΝΑ 1973. Σταύρο, ευχαριστώώώώώ. Ψάχνω εις τας Εσπερίας αλλά ο καρπός υπάρχει ήδη στον κήπο μας. Με την ευκαι...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 11, 2017 10:51 am
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Συνάρτηση κατανομής και σύνολο Borel
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 172

Re: Συνάρτηση κατανομής και σύνολο Borel

Καλησπέρα, Διαβάζω κάποιες σημειώσεις επάνω στη θεωρία μέτρου και δε κατανοώ ένα πράγμα: Έστω B κάποιο σύνολο Borel και Χ τυχαία μεταβλητή X: B \to \mathbb{R} και f(x) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Ισχύει P(X\in B)=\int\limits_{B}{} f(x)dx Aυτό πως μπορεί να ερμηνευθεί;...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 11, 2017 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 74η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Απαντήσεις: 150
Προβολές: 14965

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 73η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

Καλημέρα Μιχάλη.
Υπάρχει ένα βιβλίο στα Ελληνικά στο οποίο σε μεγάλο μέρος ασχολείται με τέτοια θέματα.
Το είχα διαβάσει όταν ήμουν μαθητής.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΥ
ΣΤΕΛΙΟΥ Η. ΠΑΠΑΦΛΩΡΑΤΟΥ
ΑΘΗΝΑ 1973.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιούλ 10, 2017 12:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 191

Re: Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Μετά την εξαίρετη λύση του Μιχάλη που στην ουσία δεν χρησιμοποιεί το φραγμένη αλλά το ασθενέστερο \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)e^{-x}=0 θα περιγράψω μια διαφορετική λύση που χρησιμοποιεί κατά ουσιαστικό τρόπο το ότι είναι φραγμένη. Η ουσιαστική παρατήρηση είναι ότι εκεί που η f έχει τοπικό...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιούλ 10, 2017 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 211

Re: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω C τὸ σύνολο Cantor. Ὑπενθυμίζεται ὅτι \displaystyle{ C = \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n, } ὅπου \displaystyle{I_1=[0,1/3]\cup[2/3]=I_{1,1}\cup I_{1,2},} \displaystyle{I_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1]=I_{2,1}\cup I_{2,2}\cup I_{2,3}\cup I_{2,4},} καί γενικότερα \display...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιούλ 09, 2017 6:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Βέλτιστη ἀνισότης στοὺς Μιγαδικοὺς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 161

Re: Βέλτιστη ἀνισότης στοὺς Μιγαδικοὺς

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται f:[0,1]\to \mathbb C ὁλοκληρώσιμη Lebesgue. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει μετρήσιμο σύνολο E\subset [0,1] , ὥστε \displaystyle{ \int_0^1 |f(x)|\,dx \le \pi \Big|\int_E f(x)\,dx\Big| } Τὸ δὲ π ἀποτελεῖ τὴν βέλτιστη σταθερὰ στὴν ἀνωτέρω ἀνισότητα. Είναι το συνεχές ανάλογο του ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση