Η αναζήτηση βρήκε 1709 εγγραφές

από Σεραφείμ
Σάβ Απρ 22, 2017 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Λογαριθμικό άθροισμα.
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 64

Λογαριθμικό άθροισμα.

Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\sum\limits_{n =  - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\log \left| {n + \dfrac{1}{4}} \right|}}{{n + \dfrac{1}{4}}}}  =  - \pi  \cdot \left( {4 \cdot \log 2 - 4 \cdot \log \Gamma \left( {\dfrac{1}{4}} \right) + 3 \cdot \log \pi  + \gamma } \right)}


από Σεραφείμ
Τρί Φεβ 28, 2017 7:00 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με ημίτονο και ρητή συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 320

Re: Ολοκλήρωμα με ημίτονο και ρητή συνάρτηση

Δείξατε ότι \displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{(x^2-4) \sin 2x}{x(x^2+4)} \, {\rm d}x = \left ( \frac{1}{e^4} - \frac{1}{2} \right ) \pi } Θα ήθελα να δω μία λύση με πραγματική ανάλυση κυρίως με μετασχηματισμούς Laplace. Με καθαρή Πραγματική Ανάλυση Λήμμα 1: \displaystyle...
από Σεραφείμ
Πέμ Ιαν 12, 2017 7:52 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με log Γ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 352

Re: Ολοκλήρωμα με log Γ

Τόλη καλημέρα. Γνωρίζω ότι από αυτό το ολοκλήρωμα προκύπτει η φόρμουλα του Kummer . Γνωρίζω επίσης την στοιχειώδη απόδειξη της φόρμουλας, όπου αντιμετωπίζεται με διαφορετικό τρόπο το συγκεκριμένο θέμα. Σκέφτηκα να μην παραθέσω απλά έναν σύνδεσμο της απόδειξης, αλλά να δοθεί και και μια άλλη προοπτι...
από Σεραφείμ
Τετ Ιαν 11, 2017 9:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με log Γ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 352

Re: Ολοκλήρωμα με log Γ

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_0^1 \log \Gamma (x) \sin (2 n \pi x) \, {\rm d}x} Από εδώ http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf γνωρίζουμε την φόρμουλα του Kummer : \displaystyle{\log \Gamma \left( x \right) = \frac{1}{\pi ...
από Σεραφείμ
Τετ Ιαν 11, 2017 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 332

Re: Ολοκλήρωμα με πολυλογάριθμο και τόξο εφαπτομένης

Δειχθήτω: \displaystyle{\int_0^{\infty}\ {\rm Li}_2 \left(e^{-\pi x}\right)\arctan x\,{\rm d}x =\frac{\pi^2}{18} - \frac{3 \zeta(3)}{8}} Κάποια λήμματα .. \displaystyle{L1:\quad \int\limits_0^\infty {{e^{ - \pi nx}} \cdot arc\tan x\;dx} = \frac{{ - 1}}{{n \cdot \pi }}\int\limits_0^\...
από Σεραφείμ
Κυρ Αύγ 28, 2016 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκληρώματα - Εμβαδά - Εύρεση ακτίνας κύκλου .
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 470

Re: Ολοκληρώματα - Εμβαδά - Εύρεση ακτίνας κύκλου .

Θέλω να ρωτήσω , εσάς που είσαστε έμπειροι . Υπάρχει περίπτωση φοιτητής που παρακολουθεί διαβάζει 2 ώρες κάθε μέρα , αλλά δεν έχει ειδικό χάρισμα , να μπορεί να λύσει τέτοια θέματα και να πάρει στην ώρα του πτυχίο ; Ευχαριστώ . Εκτίμησή μου είναι πως το συγκεκριμένο θέμα (που ασφαλώς δεν λύνεται αρ...
από Σεραφείμ
Σάβ Αύγ 27, 2016 10:45 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 360

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Δείξατε ότι: \displaystyle{\int_0^1 \frac{\log(1+x)}{(1+x)\sqrt{x}}\, {\rm d}x = \pi \log 2 - \mathcal{G}} :no: :no: Περίπου .. αλλιώς (τέλος πάντων) .. \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 + x} \right)\sqrt x }}dx} \mathop {...
από Σεραφείμ
Σάβ Αύγ 27, 2016 12:49 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με διλογάριθμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 307

Re: Ολοκλήρωμα με διλογάριθμο

Έστω \mathbb{N} \ni s \geq 2 και έστω s άρτιος. και ας δηλώσουμε τον διλογάριθμο με {\rm Li}_2 και το τριλογάριθμο με {\rm Li}_3 . Τότε δείξατε ότι \displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{x^{s/2-1}{\rm Li}_2(-x)}{1+x^s}\, {\rm d}x}=- \frac{\pi^3}{4} \left( \frac1{3 s}+ \frac1{ s^3}\right...
από Σεραφείμ
Σάβ Αύγ 20, 2016 12:49 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Καλησπέρα σας ! Πώς μπορώ να αποδείξω ότι αν μια συνάρτηση f είναι αναλυτική κατά μήκος και στο εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης C και z_{0} είναι ένα σημείο στο εσωτερικό της C , τότε ισχύει ότι \int \frac{f'(z)}{z-z_{0}}dz=\int \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz ;; ευχαριστώ...
από Σεραφείμ
Σάβ Αύγ 20, 2016 12:05 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα και Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 510

Re: Άθροισμα και Ολοκλήρωμα

Έστω n \in \mathbb{N} . Να υπολογιστεί: \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \int_0^1 x^{2n} \log(2-x) \, {\rm d}x} \displaystyle{S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}\int\limits_0^1 {{x^{2n}}\log \left( {2 - x} \right)dx} } = \int\limits_0^1 {\log \left( ...
από Σεραφείμ
Πέμ Αύγ 18, 2016 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και λογάριθμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 529

Re: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και λογάριθμο

Tolaso J Kos έγραψε:Εγώ έκανα Mellin.
Mellin .. :shock: :shock: .. σκληρά Μαθηματικά ..
από Σεραφείμ
Πέμ Αύγ 18, 2016 8:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και λογάριθμο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 529

Re: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και λογάριθμο

Δείξατε ότι: \displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{\log t (1- \cos t)}{t^2} \, {\rm d}t=\frac{\pi}{2}(1-\gamma)} Με αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplace (κάπως αναλυτικά) .. χμ .. είναι άραγε βαρύ εργαλείο; Γνωστές σχέσεις : 1) Αν \displaystyle{\int\limits_0^\infty {F\left( t \ri...
από Σεραφείμ
Δευ Αύγ 15, 2016 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 262

Re: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Έστω k^2 \leq n < (k+1)^2 . Έχουμε δύο περιπτώσεις: ................. Ωραία Ραφαήλ. Όντως το κλειδί είναι να ελέγξουμε τις τιμές του \displaystyle{n} για \displaystyle{{k^2} \le n < {\left( {k + 1} \right)^2}} . Δεν ήταν πολύ δύσκολη, απλά μου άρεσε ότι αυτή η ακολουθία εκφράζει όλο...
από Σεραφείμ
Δευ Αύγ 15, 2016 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 262

Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία \displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n  + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*} είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή \displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..}



από Σεραφείμ
Δευ Αύγ 15, 2016 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα ακέραιου μέρους ..
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 327

Ολοκλήρωμα ακέραιου μέρους ..

Για κάθε \displaystyle{a \in R} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\int\limits_0^a {\;\left[ x \right] \cdot \left[ {a - x} \right]dx} = \frac{{a \cdot \left[ a \right] \cdot \left( {\left[ a \right] - 1} \right)}}{2} - \frac{{\left[ a \right] \cdot \left( {{{\left[ a \right]}^2} - 1} \rig...
από Σεραφείμ
Δευ Αύγ 15, 2016 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Euler με περιττό δείκτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 307

Re: Άθροισμα Euler με περιττό δείκτη

Έστω \mathcal{H}_n ο n -οστός αρμονικός όρος. Να υπολογίσετε το άθροισμα: \mathcal{S} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{2n+1}}{2^n (2n+1)}} Με μία γρήγορη υπολογιστική ματιά που του ριξα μάλλον τους πολυλογαρίθμους δε τους γλιτώνουμε. :yes3: :yes3: \displaystyle{\sum\li...
από Σεραφείμ
Δευ Αύγ 15, 2016 8:54 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα !
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 266

Re: Άθροισμα !

r9m έγραψε:Θυμόμαστε την επέκταση σειρά \displaystyle \pi\coth (\pi z) = \frac{1}{z} + 2z\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{z^2+j^2}. :clap2: :clap2:
από Σεραφείμ
Κυρ Αύγ 14, 2016 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα !
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 266

Άθροισμα !

Μου προέκυψε τυχαία .. το βρήκα συναρπαστικό. Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {L{i_3}\left( {{e^{ - 2 \cdot n \cdot \pi }}} \right)} = \frac{{7 \cdot {\pi ^3}}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot \zeta \left( 3 \right)} :) όπου \displaystyle{L{i_3}\left( x \ri...
από Σεραφείμ
Κυρ Αύγ 14, 2016 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενικευμένο !
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1175

Re: Γενικευμένο !

Τελικά, είναι βέβαιο. Tο ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. Το διασταύρωσα και δι' άλλης οδού. Ισχύει μεν ότι \displaystyle{\int\limits_0^\infty {\sin \sqrt x \cdot\sin x\cdot{e^{ - ax}}dx} = \frac{{\sqrt \pi \cdot{e^{ - \dfrac{a}{{4\left( {{a^2} + 1} \right)}}}}}}{{2{{\left( {{a^2} + 1} \right&...
από Σεραφείμ
Σάβ Ιούλ 30, 2016 7:24 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 875

Re: Ολοκλήρωμα

Έστω \displaystyle{\displaystyle \text{Ti}_2(x) = \int_0^x \frac{\arctan t}{t}\, {\rm d}t} . Να δείξετε ότι: \displaystyle{\text{Ti}_2 \left(2-\sqrt{3} \right)=\frac{\pi}{12}\log \left(2-\sqrt{3} \right) +\frac{2}{3}\mathcal{G}} όπου \mathcal{G} η σταθερά Catalan. Η συνάρτησ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση