Η αναζήτηση βρήκε 1733 εγγραφές

από Σεραφείμ
Τετ Αύγ 16, 2017 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: δύσκολο λογισμός ∫
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 246

Re: δύσκολο λογισμός ∫

1. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\arcsin \left( \sqrt{1-s}\sqrt{y} \right)}{\sqrt{1-y}\sqrt{sy-y+1}}dsdy}}=2\pi \left( 1-\ln 2 \right)} Λήμμα 1 : \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\arcsin \left( {\sqrt {ys} } \right)}}{{\sqrt {1 - ys} }}ds} ...
από Σεραφείμ
Τετ Αύγ 16, 2017 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: δύσκολο λογισμός ∫
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 246

Re: δύσκολο λογισμός ∫

2. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\arcsin \left( \sqrt{1-s}\sqrt{y} \right)}{\sqrt{1-s}\sqrt{y}\sqrt{sy-y+1}}dsdy}}=-\frac{7}{4}\zeta \left( 3 \right)+\frac{\pi ^{2}}{2}\ln 2} \displaystyle{I = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{\arcsin \left( ...
από Σεραφείμ
Πέμ Αύγ 03, 2017 12:33 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με γινόμενο αρμονικών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 274

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}{H_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}}}{{n + 1}}\int\limits_0^1 {{x^n}\log \left( {1 - x} \right&...
από Σεραφείμ
Τετ Αύγ 02, 2017 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με γινόμενο αρμονικών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 274

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

Έφτασα εδώ .. όμως κόλλησα .. :( :( \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}{H_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right){{\log }^2}\left( {1 + x} \right...
από Σεραφείμ
Τετ Αύγ 02, 2017 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 334

Re: Γινόμενο

Υπολογισθήτω: \displaystyle{\Pi = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{x^2}{n^2+n-1} \right ) } Λόγω του τετραγώνου του \displaystyle{x} , μπορούμε να θεωρήσουμε \displaystyle{x \ge 0} . Αρχικά (για διευκόλυνση) θεωρούμε \displaystyle{x<1} . \displaystyle{f\left( x \right) = \Pi =...
από Σεραφείμ
Δευ Ιούλ 31, 2017 12:12 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 410

Re: Γενικευμένο 2ης-τάξης λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Να υπολογισθεί το \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log^2{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,,\quad 0<\alpha<\beta\,. Κάπως συνοπτικά, με πραγματική ανάλυση ( μετασχηματισμοί Laplace ) .. \displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{{{\log }^2}x}}{{\left( {x + a} \right)\left&#...
από Σεραφείμ
Κυρ Ιούλ 30, 2017 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 555

Re: Γενικευμένο λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos έγραψε:Πώς περνάν τα χρόνια !!

Σεραφείμ , όπως πάντα, με Laplace !!
Πωπω .. πριν 6 χρόνια .. πράγματι περνάνε. Ο Laplace βέβαια καλά κρατεί .. :) :)

από Σεραφείμ
Κυρ Ιούλ 30, 2017 11:26 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 244

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Για την ακρίβεια για \displaystyle{b} κοντά στο \displaystyle{a} ισχύει .. \displaystyle{b < a\quad :\quad \int\limits_0^b {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx} = {\log ^2}b \cdot \log \left( {1 - \frac{b}{a}} \right) + 2 \cdot \log b \cdot L{i_2}\left( {\frac{b}{a}} \right) - 2 \cdot ...
από Σεραφείμ
Κυρ Ιούλ 30, 2017 11:16 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 244

Re: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Χαιρετώ την παρέα. Είναι αλήθεια ότι ο Wolfram δίδει πως το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. Ίσως θα 'επρεπε να διατυπώσω καλύτερα το πρόβλημα .. δηλαδή : Αν \displaystyle{a \in \left( {0,1} \right)} , και \displaystyle{\varepsilon > 0} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\lo...
από Σεραφείμ
Σάβ Ιούλ 29, 2017 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα Λογάριθμου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 244

Ολοκλήρωμα Λογάριθμου

Αν \displaystyle{a \in \left( {0,1} \right]} να δειχθεί ότι \displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^2}x}}{{x - a}}dx}  =  - \frac{1}{3}{\log ^3}a + \frac{{2{\pi ^2}}}{3}\log a - 2 \cdot L{i_3}\left( a \right)} .

από Σεραφείμ
Σάβ Ιούλ 29, 2017 10:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 162

Re: Ολοκλήρωμα με τριγωνομετρικό και πολυώνυμο

Αποδείξατε ότι \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \frac{x^2}{1+\cos^2 x} \, {\rm d} x = \frac{ \pi}{2\sqrt{2}} {\rm Li}_2 \left( 3 - 2\sqrt{2} \right) + \frac{\pi^3}{24 \sqrt{2}}} . Λήμμα 1 Αν \displaystyle{\left| a \right| > 1} τότε \displaystyle{\int\limits_0^\pi {\frac{{{x^2}}}{{{e^{ix}} - a}}...
από Σεραφείμ
Τετ Ιούλ 26, 2017 10:20 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παράξενο εναλλασσόμενο άθροισμα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 243

Re: Παράξενο εναλλασσόμενο άθροισμα

Για το αρχικό άθροισμα κάπως διαφορετικά. Παρατηρούμε ότι: \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}}{(2k+1)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \left [\frac1{(8 k+1)^2} – \frac1{(8 k+3)^2} – \frac1{(8 k+5)^2}+\frac1{(8 k+7)^2} \rig...
από Σεραφείμ
Τετ Ιούλ 26, 2017 6:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παράξενο εναλλασσόμενο άθροισμα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 243

Re: Παράξενο εναλλασσόμενο άθροισμα

Αποδείξατε ότι \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}}{(2k+1)^2} = \frac{\sqrt{2} \pi^2}{16}} Κάπως διαφορετικά .. Επειδή \displaystyle{{\left( { - 1} \right)^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{{\l...
από Σεραφείμ
Τρί Ιούλ 18, 2017 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Διλογάριθμος , log Γ και ζ(3)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 429

Re: Διλογάριθμος , log Γ και ζ(3)

Δειχθήτω: \displaystyle{\zeta(3)=2\bigintsss_0^1 \bigg({\rm Li}_2 \left(e^{-2\pi i x} \right)+{\rm Li}_2 \left(e^{2\pi i x} \right) \right) \bigg)\log \Gamma(x) \; {\rm d}x} Σχόλιο : από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Poly...
από Σεραφείμ
Κυρ Ιούλ 16, 2017 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αρμονικό άθροισμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 244

Re: Αρμονικό άθροισμα

Ας δηλώσουμε με \mathcal{G} τη σταθερά Catalan και με \mathcal{H}_n το n -οστό αρμονικό όρο. Δειχθήτω: \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{\mathcal{H}_{4n-3}}{4n-3} - \frac{\mathcal{H}_{4n-2}}{4n-2} \right ) = \frac{\pi^2}{64} + \frac{\pi \log 2}{32} + \frac{\mathcal{G}}{2}- \fr...
από Σεραφείμ
Κυρ Ιούλ 16, 2017 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αρμονικό άθροισμα 07-07-2017
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 256

Αρμονικό άθροισμα 07-07-2017

Ας δηλώσουμε με \mathcal{G} τη σταθερά Catalan και με \mathcal{H}_n το n -οστό αρμονικό όρο. Δειχθήτω: \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{\mathcal{H}_{4n-3}}{4n-3} - \frac{\mathcal{H}_{4n-2}}{4n-2} \right ) = \frac{\pi^2}{64} + \frac{\pi \log 2}{32} + \frac{\mathcal{G}}{2}- \fr...
από Σεραφείμ
Παρ Ιούλ 07, 2017 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πολλαπλό γενικευμένο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Tolaso J Kos έγραψε:Βεβαίως n \geq 2 για τη σύγκλιση ...
:yes3: :yes3:
από Σεραφείμ
Παρ Ιούλ 07, 2017 6:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πολλαπλό γενικευμένο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Re: Πολλαπλό γενικευμένο

Υπολογίσατε το πολλαπλό ολοκλήρωμα: \displaystyle{\mathcal{M} = \bigints_0^{\infty} \bigints_0^\infty \cdots \bigints_0^\infty \frac{\prod \limits_{m=1}^{n} \cos (x_m)}{\sum \limits_{m=1}^{n} x_m} \, {\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)} Με μετασχηματισμούς Laplace \displaystyle{\int\limit...
από Σεραφείμ
Παρ Ιούλ 07, 2017 7:32 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με ζήτα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 259

Re: Σειρά με ζήτα

Δειχθήτω: \displaystyle{\frac{1}{2\pi} {\rm Li}_2 \left ( e^{-2\pi} \right ) = \log 2\pi - 1 -\frac{5 \pi}{12} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \zeta(2n)}{n \left ( 2n+1 \right )}} Σχόλια: \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{{\left( { ...
από Σεραφείμ
Τρί Ιούλ 04, 2017 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρικό με λογάριθμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 303

Re: Τριγωνομετρικό με λογάριθμο

Δειχθήτω: \displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\cos(x^n)-\cos(x^{2n})\over x}{\ln{x}} \, {\rm d}x ={12\gamma^2-\pi^2\over 2(4n)^2}} Σχόλιο 1 : Μετασχηματισμοί Laplace \displaystyle{\int\limits_0^\infty {{y^a} \cdot {e^{ - x \cdot y}}dy} = \frac{{\Gamma \left( {1 + a} \right&#...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση